Сумма двух векторов в координатной форме вычисляется путем покомпонентного сложения их соответствующих координат. Это фундаментальная операция векторной алгебры, находящая широкое применение в физике, компьютерной графике и инженерных расчетах.
Содержание
Основное правило сложения векторов
Если даны два вектора в n-мерном пространстве:
- Вектор A = (a₁, a₂, ..., aₙ)
- Вектор B = (b₁, b₂, ..., bₙ)
Тогда их сумма A + B будет иметь координаты:
(a₁ + b₁, a₂ + b₂, ..., aₙ + bₙ)
Геометрическая интерпретация
В двумерном пространстве (на плоскости)
Для векторов A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) сумма A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂). Геометрически это соответствует правилу параллелограмма или правилу треугольника.
В трехмерном пространстве
Для векторов A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂) сумма A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂).
Примеры вычислений
| Вектор A | Вектор B | Сумма A + B |
| (2, 5) | (3, -1) | (5, 4) |
| (-1, 0, 4) | (2, 5, -3) | (1, 5, 1) |
| (1.5, -2.3) | (-0.5, 1.2) | (1.0, -1.1) |
Свойства сложения векторов
- Коммутативность: A + B = B + A
- Ассоциативность: (A + B) + C = A + (B + C)
- Существование нулевого вектора: A + 0 = A
- Существование противоположного вектора: A + (-A) = 0
Практическое применение
В физике:
- Сложение сил, действующих на тело
- Определение результирующей скорости
- Расчет суммарного импульса системы
В компьютерной графике:
- Перемещение объектов в пространстве
- Расчет освещения и теней
- Анимация движения
Особые случаи
| Случай | Результат |
| Сложение с нулевым вектором | Исходный вектор без изменений |
| Сложение противоположных векторов | Нулевой вектор |
| Сложение коллинеарных векторов | Вектор той же направленности |
Правило сложения векторов через их координаты является универсальным и работает в пространствах любой размерности. Это основа для более сложных операций векторного анализа и линейной алгебры.
